Задачи на месецот - Февруари 2019
Решение (февруари 2019):
Прво ќе пресметаме по колку броеви Матео бришел во секој од четирите чекори. 1) Во првите 100 природни броја има 100 : 2 = 50 броеви деливи со 2, па Матео избришал 50 - 1 = 49 броја (се одзема 1 затоа што не го избришал бројот 2). 2) Во првите 100 броја има 33 броја деливи со 3 (од 100 : 3 = 33 и остаток 1), но има 16 броја деливи и со 2 и со 3, т.е. со 6 (од 100 : 6 = 16 и остаток 4). Па, Матео избришал уште 33 - 16 - 1 = 16 броја (броевите деливи со 6 се одземаат затоа што тие се избришани во претходниот чекор бидејќи се деливи со 2). 3) Во првите 100 броја има 100 : 5 = 20 броја деливи со 5. Но, има 10 броја деливи и со 2 и со 5 т.е. со 10 (од 100 : 10 = 10), потоа има 6 броја деливи и со 3 и со 5 т.е. со 15 (од 100 : 15 = 6 и остаток 10), и има 3 броја деливи и со 2 и со 3 и со 5 т.е. со 30 (од 100 : 30 = 3 и остаток 10). Затоа, Матео избришал уште 20 - 10 - 6 + 3 - 1 = 6 броја (броевите деливи 10 и броевите деливи со 15 се одземаат затоа што претходно тие се избришани, но броевите деливи со 30 се додаваат затоа што два пати се претходно одземени). 4) Во првите 100 броја има 14 броја деливи со 7 (од 100 : 7 = 14 и остаток 2). Но, има 7 броја деливи и со 2 и со 7 т.е. со 14, има 4 броја деливи и со 3 и со 7 т.е. со 21, има 2 броја деливи и со 5 и со 7 т.е. со 35, потоа има 2 броја деливи и со 2 и со 3 и со 7 т.е. со 42, има 1 број делив и со 2 и со 5 и со 7 т.е. со 70, а нема броеви деливи и со 3 и со 5 и со 7 т.е. со 105, исто нема броеви деливи и со 2 и со 3 и со 5 и со 7 т.е. со 210. Значи, во овој чекор Матео избришал 14 - 7 - 4 - 2 +2 + 1 + 0 - 0 -1 = 3 броја. Во четирите чекори, Матео вкупно избришал 49 + 16 + 6 + 3 = 74 броја, што значи неизбришани останале 100 - 74 = 26 броја. Да забележиме дека броевите кои останале се сите прости броеви помали од 100 (нив ги има 25) и бројот 1. Оваа постапка на „бришење“ броеви, деливи редоследно со 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... (делителите се прости броеви) е позната како метод Ератостеново сито за наоѓање на простите броеви. При наоѓање на сите прости броеви до 100, доволно е да се проверува деливоста со простите броеви до 11 (затоа што тоа е првиот прост број чиј квадрат е поголем од 100 т.е. 11² = 121 > 100). Но, ако Матео ја продолжи постапката со бројот 11, ќе увиди дека во наредниот чекор нема да има броеви деливи со 11 кои останале неизбришани (секој од броевите 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 е делив со некој од претходните делители 2, 3, 5 или 7). Затоа, спроведената постапка ги наоѓа сите прости броеви до 100 и бројот 1. |
Copyright © 2015 Математика +
|