Слики и анимации
Вежбајте го визуелното размислување со помош на овие математички слики, анимации и докази без зборови.
Доближете се чекор поблиску до апстрактната страна на математиката! *) Рубриката ја уредува: Ирена Стојковска
|
Визуализација на формулата за трином на квадрат.
Визуелен доказ на даденото неравенство со помош на Питагоровата теорема (и неравенството за страните на еден триаголник). На пример, навистина за a=9 и b=16 точно е дека
затоа што 5 ≤ 3 + 4.
1. При собирање на две дропки, прво провери дали дропките имаат еднакви именители.
2. Дропките кои имаат еднакви именители се собираат така што броителите се собираат, а именителот останува непроменет. 3. Дропките кои немаат еднакви именители, прво треба да се сведат на еднакви именители, а потоа да се соберат како дропки со еднакви именители. 4. На крај, провери дали резултатот може да се упрости т.е. да се доведе до нескратлива дропка. YouTube видео: https://www.youtube.com/watch?v=4Rew6flR0Gg Две дропки се множат така што се множат броителот на едната со броителот на другата, и именителот на едната со именителот на другата.
YouTube видео: https://www.youtube.com/watch?v=MZaUdYZKtq8 Илустративен доказ дека збирот на првите n непарни броеви е n². На пример, збирот на првите четири непарни броеви е 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16.
Илустрација на дистрибутивното својство на множењето во однос на собирањето.
Визуелен приказ на таблиците за множење.
Буквите од грчката алфабета често се користат во математиката, како симболи за одредени константи, симболи за променливи и слично. Затоа, и треба да се знае како правилно се „читаат“.
Илустрација на збирови со два еднакви собироци.
Доказ без зборови.
Модел на невозможниот триаголник (оптичка илузија). Инструкции за „изработка“ на невозможниот триаголник ќе најдете на следниот линк.
Магичен квадрат 3х3 со збир 15 (збирот на броевите во секоја редица, секоја колона и двете дијагонали е еднаков на 15).
Конструкција на прав агол според Талесова теорема (∡BPP'=90º како агол над дијаметарот BP' во кружницата со центар во M и радиус MP).
Коцка и дијагоналите на нејзините бочни ѕидови. Овие 12 дијагонали формираат два „испреплетени“ тетраедри (тристрани пирамиди со основа и бочни ѕидови рамнострани триаголници). Така добиеното геометриско тело е познато под името осмокрака ѕвеза (stella octangula). Името ѝ го дал Кеплер во 1609 година. Повеќе за осмокраката ѕведа тука.
Анимација на тврдењето: Збирот на надворешните агли кај еден многуаголник секогаш е еднаков на 360º. Анимацијата го илустрира ова тврдење за три правилни многуаголници (рамностран триаголник, правилен петаголник и правилен шестаголник). Трврдењето важи за кој било многуаголник. Доказ?
Тежиште во триаголник е точката во која се сечат тежишните линии или медијани. Тежишна линија во триаголник е отсечка која поврзува теме со средината на спротивната страна. Тежиштето ја дели секоја тежишна линија во однос 2:1.
Анимиран доказ на Питагоровата теорема a² + b² = c².
Конструкција на рамностран триаголник впишан во круг со даден радиус.
Талесова теорема: Аголот над дијаметарот на една кружница, секогаш е прав агол. /AC-дијаметар, ∡ABC=90º/
Анимација на тврдењето дека збирот на аглите во еден триаголник е 180º.
Антипаралелограм е четириаголник, кој како и паралелограмот има две по две спротивни страни со еднакви должини, но едниот пар спротивни страни (тоа се подолгите страни) се сечат. Антипарелограмите се нарекуваат и контрапаралелограми или вкрстени паралелограми. Фокусите на две складни елипси кои се допираат, формираат антипаралелограм кај кој подолгите страни се сечат во допирната точка на елипсите.
Конструкција на квадрат само со шестар и линијар.
Анимација на веројатности на можни исходи: Топчињата се пуштаат од исто место на врвот. Кога едно топче ќе наиде на препрека, тогаш подеднакви се шансите да се придвижи лево, односно десно. По 10 реда препреки има 11 можни излези, нумерирани со броевите од 0 до 10. Кој е излезот со најголема веројатност?
Бидејќи постојат најмногу различни патишта кои водат кон излезот со број 5 и придвижувањето на топчињата лево или десно е подеднакво веројатно, затоа со најголема веројатнотст топчето ќе излезе на излезот со број 5. Со математиката може да си играте секаде, во секое време!
Колку квадрати има на цртежот?
Делот од целото може да има неколку репрезентации: како дропка, како децимален број, како процент и преку слика.
На следниот линк може да најдете 16 листа за принтање со 16 различни делови од целото. Начин на користење на овој ресурс дома или на училиште:
1) Исечете ги картичките, измешајте ги, па побаратајте од децата да ги спојат, да ги групираат според нивната вредност. 2) Побарајте од децата да ги подредат измешаните картички во растечки/опаднувачки редослед. 3) Побарајте од децата да направат свои изработки слични на дадениве но за други делови од целото. 4) Може да ја играте играта меморија со парови еднакви делови од целото. 5) Отпринтаните листови без да ги сечете може да ги закачите на изложбените паноа во училницата или дома на ѕидовите од детската соба. Но, сигирно би смислиле и вие некои дополнителни активности. Плоштина на правоаголник е производ на две негови соседни страни, а плоштина на паралелограм е производ на една негова страна и висината спуштена кон таа страна. Уверете се зошто е тоа така.
Илустрација на равенството 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)², или во општ случај: збирот на кубовите од првите n природни броеви е еднаков на квадратот од збирот на првите n природни броеви - Никомахова теорема т.е. 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².
На сликата е илустрирано дека збирот на првите 6 непарни броеви е 6², т.е. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6². Да забележиме дека 6-тиот непарен број 11 може да се запише како 11 = 2·6 - 1. Во општ случај, n-тиот непарен број може да се запише како 2·n-1. Па, збирот на првите n непарни природни броеви е 1 + 3 + 5 + ... + (2·n-1) = n².
Погледнете зошто 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 · 6) : 2 = 30 : 2 = 15. На левата слика има два сета од по 1 + 2 + 3 + 4 + 5 точки секој. Кога тие ќе се спојат се добива правоаголна шема 5 · 6, па затоа бројот на точки во едниот сет е (5 · 6) : 2. Така, во општ случај, збирот на првите n природни броеви е
1 + 2 + ... + n = n · (n + 1) / 2. Паскаловиот триаголник е аритметички триаголник во кој почнувајќи од бројот 1 секој број се добива како збир на двата негови соседни броја од претходниот ред. Во овој триаголник се кријат многу шеми на броеви, меѓу кои и низата од Фибоначиеви броеви 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (секој нареден број е збир од претходните два броја), која се добива со собирање на броевите по дијагоналите. Повеќе за Паскаловиот триаголник, конструкција, шеми од броеви и примена на следниот линк.
Доказ без зборови на Питагоровата теорема: во правоаголен триаголник, збирот на квадратите на катетите е еднаков на квадратот на хипотенузата (Henry Perigal, 1872). Сликите се превземени од следниот линк. А, на следниот линк може да најдете над 100 докази на Питагоровата теорема.
Трисекција на отсечка. Како да најдете конструктивно една третина од дадена отсечка AB. Доказ без зборови (Scott Coble, 1994). Други начини за трисекција на отсечка може да најдете на следниот линк.
Доказ без зборови на тврдењето дека збирот од растојанијата на било која точка од внатрешноста на рамностран триаголник до секоја од страните е еднаков на висината на триаголникот - Вивианова теорема.
Земете лист хартија, исчете круг и одберете точка од внатрешноста на кругот. Потоа, превиткувајте го кругот така да превитканиот дел ја допре точката која ја избравте. Повторете ја таа постапка повеќе пати. Погледнете ги линиите на превиткувањата. Добивте елипса од круг со помош на превиткување!
Големината на аглите може да се мери во степени, па така правиот агол е 90°, рамниот агол е 180°, а полниот агол е 360°. Друга единица мерка за големина на агол е радијан (rad), па така рамниот агол е π радијани, а полниот агол е 2π радијани. Но, како се дефинира еден радијан? Еден радијан е големината на аголот кој одговара на кружен лак со должина еднаква на радиусот на кружницата.
За да нацртате круг ви треба шестар. Каков „шестар“ ви треба да нацртате елипса?
π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751... Ова се првите (околу) 50 цифри на бројот π. Првите милион цифри на бројот π може да ги најдете на следниот линк. Но, кој е точно тој број? Каде точно се наоѓа на бројната оска? Нанесете ја должината на кружницата со дијаметар 1 на бројна оска и ќе го најдете местото на бројот π.
Питагорова теорема: Квадратот над хипотенузата во еден правоаголен триаголник е еднаков на збирот од квадратите над катетите, односно
Реалниот воден модел на доказот на Питагоровата теорема може да го погледнете на следниот линк.
Цилиндарот со иста основа и висина како на конусот, има три пати поголем волумен од волуменот на конусот.
Кружницата има еден центар, но елипсата има два фокуса. Кои се својствата на овие фокуси? Има две својства:
1. Зрак емитиран од едниот фокус, се рефлектира од границата на елипсата и влегува во другиот фокус. 2. Патеките кои ги опишуваат зраците спомнати во првото својство имат еднаква должина. Ова значи, зраците истовремено емитирани од едниот фокус, ќе стигнат истовремено во вториот фокус. Колку изнесува збирот на аглите во еден триаголник? Се зависи од тоа на каква површина е нацртан триаголникот.
На следниот линк ќе видите како може да нацртате триаголник со три прави агли, во тој триаголник збирот на аглите изнесува 270º.
Aнимација на Руловиот триаголник (именуван според неговиот дизајнер Franz Reuleaux, германски машински инженер од 19-тиот век), геометриска фигура формирана од пресекот на три кружници со еднакви радиуси, така што секоја кружница минува низ центрите на останатите две кужници. Руловиот триаголник има едно прекрасно својство, тој има константа ширина еднаква на радиусот на една од кружниците, односно при тркалање по рамна подлога, неговата висина (растојанието од подлогата до највисокта точка) е константа. Дупчалките во форма на Рулов триаголник се користат за правење на квадратни дупки. Погледнете го видеото на следниот линк.
Коховата снегулка е фрактал кој е еден од поедноставните за цртање. Се почнува со цртање на еден рамностран триаголник, секоја од неговите страни се дели на три еднакви дела, и на местото од средишната третина се издига нов помал рамностран триаголник, а средишната третина се брише. Постапката се повторува за секоја отсечка од новодобиената фигура се додека ви се видливи и препознатливи новите мали. Дознајте повеќе за Коховата снегулка во текстот Која е Коховата снегулка.
Како настанале арапските броеви кои денес ги користиме? Се верува дека формата на секоја цифра има онолку агли колку што изнесува вредноста на цифрата.
Со секое ново гранање од една гранка се прават две на начин да изгледа како дрвото да се повторува себе си - фрактално дрво.
Должина, ширина и висина се трите димензии во просторот. Која е четвртата? Како изгледа? Во математиката одговорите се многу поедноставни. Пример за фигура со нула димензии е точка, со една димензија е отсечка, со две димензии е квадрат, со три димензии е коцка, а со четири димензии... ТЕСЕРАКТ.
Следната дисекција (поделба на фигура на делчиња) е позната како дисекција со зглобови (hinged dissection). Треба, без да се одвојуваат делчињата, од триаголник да се состави квадрат, па шестаголник и повторно триаголник. Предлог игра/активност основана на оваа дисекција може да најдете на следниот линк.
Сликата А е исечена по линиите и потоа од добиените парчиња е составена сликата B. Каде исчезна едното јајце?
Идеја за математичко украсување на подот, поточно влезот на училницата - учиме да мериме агли.
Каде исчезна квадратчето?
|
Copyright © 2015 Математика +
|