КОЈА Е КОХОВАТА СНЕГУЛКА
|
Прво нацртајте рамностран триаголник.
1) Поделете ја секоја страна на триаголникот на три еднакви дела. 2) Нацртајте нови рамнострани триаголници над секоја средна третина на секоја од страните со врвот насочени надвор од телото на почетниот триаголник. 3) Отстранете ги основите на новонацртаните триаголници, па повторете го чекор 2). |
На следната слика е даден почетниот рамностран триаголник и фигурите добиени по секоја од првите три итерации на примена на постапката за цртање на Коховата снегулка (една итерација е едно поминување на сите чекори од постапката). Фигурата после третата итерација (последната фигура на цртежот), веќе наликува на снегулка.
Додека пак, со следната анимација прикажани се првите седум итерации на Коховата снегулка:
Постапката за цртање на Коховата снегулка нема крај, што е всушност карактеристика на фракталите, да се повторуваат самите себе во секоја итерација, односно на секое ниво. Со следната анимација која преставува зумирање на еден од краците на Коховата снегулка, илустрирана е бескрајноста на постапката на формирање на Коховата снегулка. Оваа анимација многу добро ја доловува себесличноста на Коховата снегулка:
Така, полека дојдовме до конечната дефиниција на Коховата снегулка. Имено, попрецизно кажано, Коховата снегулка е фигурата која е гранична вредност на сите овие итерации т.е. фигурата кон која се стремат фигурите добиени по секоја итерација, кога итерациите се изведуваат бесконечно многу пати. Оваа дефиниција можеби изгледа несфатливо, нереално, невозможно, неопипливо, но во светот на математиката е сосема вообичаено ваквото дефинирање. И не само тоа, туку и врз основа на оваа дефиниција ќе се обидеме во продолжение да ги илустрираме основните својства на Коховата снегулка.
Бесконечен периметар, конечна плоштина
За пресметувањето на периметарот и плоштината на Коховата снегулка, потребно ни е да ги пресметаме периметарот и плоштнита на n-тата фигура, а потоа да видиме кон која вредност се стремат тие вредности, кога n се стреми кон бесконечност, затоа што Коховата снегулка ја дефиниравме како гранична вредност на низата од овие фигури. Ќе се обидеме постепено да дојдеме до заклучокот, објаснувајќи го секој чекор, за да може за не следат и оние на кои помалку им се познати математичките знаења и техники кои овде се применети.
Да го пресметаме прво бројот на страни на фигурата по n-тата итерација. На почетокот бројот на страни е 3, а по секоја наредна итерација бројот на страни е 4 пати поголем, бидејќи од една страна се добиваат 4 нови страни, значи по првата итерација бројот на страни е 3 · 4 = 12, по втората итерација бројот на страни е 12 · 4 = 48, односно 3 · 4² итн. По n-тата итерација бројот на страни е 3 · 4ⁿ.
Секоја фигура има страни со еднаква должина, а должината на страните секој пат се намалува 3 пати. Па, ако почетната должина на страната на триаголникот ја означиме со a, тогаш по првата итерација страната има должина a / 3, по втората итерација страната има должина a / 9, односно a / 3² итн. По n-тата итерација страната има должина a / 3ⁿ.
Тогаш, периметарот на n-тата фигура е:
Да го пресметаме прво бројот на страни на фигурата по n-тата итерација. На почетокот бројот на страни е 3, а по секоја наредна итерација бројот на страни е 4 пати поголем, бидејќи од една страна се добиваат 4 нови страни, значи по првата итерација бројот на страни е 3 · 4 = 12, по втората итерација бројот на страни е 12 · 4 = 48, односно 3 · 4² итн. По n-тата итерација бројот на страни е 3 · 4ⁿ.
Секоја фигура има страни со еднаква должина, а должината на страните секој пат се намалува 3 пати. Па, ако почетната должина на страната на триаголникот ја означиме со a, тогаш по првата итерација страната има должина a / 3, по втората итерација страната има должина a / 9, односно a / 3² итн. По n-тата итерација страната има должина a / 3ⁿ.
Тогаш, периметарот на n-тата фигура е:
Ова значи дека во секоја итерација, периметарот е 4 / 3 пати поголем од периметарот во претходната итерација. Периметарот на Коховата снегулка е граничната вредност на овие периметри, односно вредноста кон која се стремат овие периметри, кога n се стреми кон бесконечност, а таа гранична вредност е бесконечност (затоа што за секој позитивен број M > 0, колку и да е голем, секогаш може да се најде број n, доволно голем, така што за периметарот во n-тата итерација важи Ln > M). Добивме дека Коховата снегулка има бесконечен периметар. Математички, тоа го запишуваме како:
каде ознаката lim означува гранична вредност или лимес.
Да ја пресметаме сега плоштината. Во секоја итерација се додава по еден помал триаголник над секоја од страните, односно во секоја итерација се додаваат онолку помали триаголници колку што има страни во претходната итерација. Па, во n-тата итерација се додадени 3 · 4^(n-1) триаголници (ознаката ^ е ознака за операцијата степенување).
Потоа, триаголник кој се додава во една итерација има плоштина 9 пати помала од плоштината на триаголник кој се додава во претходната итерација. Ова значи дека, ако ја означиме со P плоштината на почетниот триаголник, тогаш плоштината на триаголник додаден во првата итерација е P / 9, плоштината на триаголник додаден во втората итерација е P / 81, односно P / 9² итн. Па, плоштината на триаголник додаден во n-тата итерација е P / 9ⁿ.
Така, вкупната плоштината која се додава во n-тата итерација е:
Да ја пресметаме сега плоштината. Во секоја итерација се додава по еден помал триаголник над секоја од страните, односно во секоја итерација се додаваат онолку помали триаголници колку што има страни во претходната итерација. Па, во n-тата итерација се додадени 3 · 4^(n-1) триаголници (ознаката ^ е ознака за операцијата степенување).
Потоа, триаголник кој се додава во една итерација има плоштина 9 пати помала од плоштината на триаголник кој се додава во претходната итерација. Ова значи дека, ако ја означиме со P плоштината на почетниот триаголник, тогаш плоштината на триаголник додаден во првата итерација е P / 9, плоштината на триаголник додаден во втората итерација е P / 81, односно P / 9² итн. Па, плоштината на триаголник додаден во n-тата итерација е P / 9ⁿ.
Така, вкупната плоштината која се додава во n-тата итерација е:
Па, плоштината на n-тата фигура е еднаква на збирот на плоштината на почетната фигура и плоштините кои се додаваат во секоја итерација од првата до n-тата:
За средување на овој израз искористена е формулата за збир на првите n елементи од една геометриска прогресија т.е. 1 + q + q² + q³ + ... + q^(n-1) = (1 - qⁿ) / (1 - q), за q = 4/9. Послениот израз кој го добивме за плоштината на n-тата фигура покажува дека со секоја наредна итерација плоштината се приближува кон 8/5 P, и кога n се стреми кон бесконечност, плоштината на n-тата фигура се стреми токму кон 8/5 P, затоа што делот кој го одземаме се стреми во тој случај кон нула (имено за секоја доволно мала позитивна вредност ε > 0, може да се најде доволно големо n така да за делот кој го одземаме важи 3/5 P · (4/9)ⁿ < ε). Значи, добивме дека Коховата снегулка има конечна плоштина еднаква на 8/5 P, што математички се запишува како:
Бесконечноста на периметарот и конечноста на плоштината на Коховата снегулка можеа и интуитивно да се заклучат, но за докажување на бесконечноста на периметарот и пресметување на конечната вредност на плоштината, сепак, потребни ви се математичките постапки.
Кохова антиснегулка
Што ако во постапката за цртање на Коховата снегулка, во чекорот 2) наместо да ги цртаме новите триаголници со врвовите кон надворешноста на почетниот триаголник, ние ги цртаме со врвовите кон внатрешноста на почетниот триаголник? Во тој случај ќе добиеме Кохова антиснегулка:
Слично се покажува дека, за Коховата антиснегулка, дефинирана и овој пат како гранична фигура на оваа низа од фигури, важи дека има бесконечен периметар и плоштина еднаква на 2/5 P, каде P е плоштината на почетниот триаголник.
Тридимензионална Кохова снегулка
А како би изгледал тридимензионалниот аналог на Коховата снегулка? Ако почетната фигура за добивање на Коховата снегулка е рамностран триаголник, сега за почетна итерација ќе земеме правилна тристрана пирамида, односно тетраедар. Во секоја наредна итерација, над секој ѕид на тетраедарот ќе издигаме нов помал тетраедар сместен на средината на триаголниот ѕид. Тридимензионалната Кохова снегулка се добива како гранична вредност на овие итерации:
|
Интересно би било да се пресметаат плоштината на површината и волуменот на вака добиената тридимензионална Кохова снегулка.
Математика +
Блог страница на Математика + наменета за децата, родителите и наставниците.
Категории
Copyright © 2015 Математика +
|