Задачи на месецот - Септември 2017
Решение (септември 2017):
Да ги означиме петте броеви со a, b, c, d и e. Да претпоставиме дека се подредени по големина т.е. дека a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e. За овие броеви треба да важи: a + b + c + d + e = a · b · c · d · e
Од тоа што секој број е помал или еднаков на последниот петти број имаме дека нивниот збир е помал или еднаков на пет пати по тој број т.е.
a + b + c + d + e ≤ 5 · e
И бидејки збирот на петте броја е еднаков на нивниот производ имаме дека
a · b · c · d · e ≤ 5 · e
од каде добиваме дека производот на првите четири броја треба да е помал или еднаков на 5 т.е.
a · b · c · d ≤ 5
Од друга страна, станува збор за природни броеви, па
a · b · c · d ≥ 1
Понатаму задачата ја решаваме работејќи систематично, испитувајќи ги сите пет вредности на производот на првите четири броеви.
1) Ако a · b · c · d = 1, тогаш a = 1, b = 1, c = 1, d = 1. Па, со замена во првото равенство со збирот еднаков на проеизводот, добиваме 4 + e = e, што не е можно. 2) Ако a · b · c · d = 2, тогаш a = 1, b = 1, c = 1, d = 2. Па, со замена во првото равенство имаме 5 + e = 2 · e, од каде e = 5. Добивме една петорка 1, 1, 1, 2, 5. 3) Ако a · b · c · d = 3, тогаш a = 1, b = 1, c = 1, d = 3. Па, со замена во првото равенство имаме 6 + e = 3 · e, од каде e = 3. Ја добивме втората петорка 1, 1, 1, 3, 3. 4) Ако a · b · c · d = 4, тогаш имаме два случаја. Првиот е a = 1, b = 1, c = 1, d = 4, при кој со замена во првото равенство добиваме 7 + e = 4 · e, што не е можно. Вториот случај е a = 1, b = 1, c = 2, d = 2, и со замена во првото равенство добиваме 6 + e = 4 · e, од каде e = 2. Па, третата петорка броеви е 1, 1, 2, 2, 2. 5) Ако a · b · c · d = 5, тогаш a = 1, b = 1, c = 1, d = 5. И со замена во првото равенство имаме 8 + e = 5 · e, од каде се добива дека e = 2, но e треба да биде најголемиот од петте броја, а и повторно се доби прводобиената петорка броеви. Затоа, ова решение нема да го земеме како ново решение. Значи, добивме дека има три петорки броеви чиј збир е еднаков на проеизвод. Тоа се: 1, 1, 1, 2, 5, па 1, 1, 1, 3, 3 и 1, 1, 2, 2, 2. Навистина, имено: 1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 10 = 1 · 1 · 1 · 2 · 5,
1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 9 = 1 · 1 · 1 · 3 · 3, 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8 = 1 · 1 · 2 · 2 · 2. |
Copyright © 2015 Математика +
|