МЕТОД НА ОТСЕЧКИ
|
Решение: 275 + (275 + 120) = 275 + 395 = 670
Одговор: Двете сестри заедно заштедиле вкупно 670 денари. |
На оние ученици кои брзо и лесно успеваат да го „визуализираат“ проблемот во своите глави, правејќи споредба на количините, доволно им е еднаш или два пати да им се каже како се составуваат бројните равенства, за да може понатаму самостојно да решат иста или слична задача. Но, не на сите ученици „визуализацијата“ на количините им е посилната страна. За нив треба поинаков пристап при објаснувањето на овие задачи. Методот на отсечки (некаде познат како Сингапурска математика) е сликовит пристап кон решавањето на овие задачи при кој задачите се моделираат со помош на отсечки (или правоаголници за „пошаренолик“ и попривлечен изглед). Во продолжение ќе изложиме неколку текстуални задачи за различни возрасти и ќе дадеме како тие се решаваат со методот на отсечки. Секако, најдобар ефект би се постигнал ако методот на отсечки почне да се објаснува почнувајќи од наједноставните текстуални задачи, оние за првачињата, па и да се работи за вторачиња, третачиња или поголеми ученици.
1. Собирање и одземање (ниво 1)
Основните задачи за собирање и одземање се задачи кои се решаваат во еден чекор и нив би требало да може да ги решаваат првооделенците, па дури и децата од предучилишна возраст (што најмногу зависи од индивидуалната развиеност на концептот за број како количина). Но, на оваа возраст, наставникот (подучувачот) е тој кој треба да процени дали децата се спремни за изучување на нов метод за решавање на текстуална задача или доволен е само методот со поединечно цртање на единките од количините, што практично може да се применува, бидејќи собирањето и одземањето е до 20. Од друга страна, запознавајќи ги талентираните ученици со методот на отсечки, ги воведувате во светот на „апстрактната математика“ преку сликовити прикази, го продлабочувате нивниот интерес и мотивација за изучување на математиката, ја храните нивната љубопитност.
Па, да почнеме со најосновен тип на задача со собирање на количини.
Па, да почнеме со најосновен тип на задача со собирање на количини.
Задача 1. (за 1 одделение)
Кристина има 6 боички. Нина ѝ дала уште 7. Колку боички има сега Кристина?
Кристина има 6 боички. Нина ѝ дала уште 7. Колку боички има сега Кристина?
Боичките кои ги имала Кристина на почетокот ќе ги претставиме со црвено правоаголниче и над него ќе означиме дека неговата должина е 6, а боичките кои Нина ѝ ги дала на Кристина ќе ги претставиме со сино правоаголниче слепено до црвеното и над него ќе ја означиме неговата должина 7. Тоа што треба да најдеме е вкупната должина на двете правоаголничиња која ќе го претставува бројот на боички кои сега ги има Кристина. Видете го цртежот, таа вкупна должина ќе ја означиме со прашалник. Потоа, под цртежот го запишуваме соодветното бројно равенство со кое се пресметува непознатата вредност која треба да биде на местото од прашалникот.
Добиениот резултат е одговорот, односно сега Кристина има 13 боички.
Да напоменеме дека прецизноста кај методот на отсечки не се состои во прецизно цртање на должините, нити пак прецизна сразмерност. Треба да биде запазена споредбената големина, односно 7 е поголемо од 6 па синиот правоаголник е малку поголем од црвениот. Прецизноста треба да биде во составувањето на бројните изрази и нивното решавање.
На сличен начин би се решиле основниот тип задачи со одземање на количини, од типот „Маја има 6 јаболка, изела 2, колку ѝ останале?“ Кај овие задачи прво се црта почетната количина од 6 јаболка, како правоаголниче со должина 6, а потоа од него се отсекува должина 2 (видете како се означува отсекувањето во првиот чекор од задача 3 или вториот чекор од задача 4). Должината која останува се означува со прашалник и таа е бараната количина на јаболката кои останале т.е. 6 - 2 = 4.
Следната задача исто така се решава во еден чекор, но не е ниту со слепување, ниту отсекување, туку со споредување на количини.
Да напоменеме дека прецизноста кај методот на отсечки не се состои во прецизно цртање на должините, нити пак прецизна сразмерност. Треба да биде запазена споредбената големина, односно 7 е поголемо од 6 па синиот правоаголник е малку поголем од црвениот. Прецизноста треба да биде во составувањето на бројните изрази и нивното решавање.
На сличен начин би се решиле основниот тип задачи со одземање на количини, од типот „Маја има 6 јаболка, изела 2, колку ѝ останале?“ Кај овие задачи прво се црта почетната количина од 6 јаболка, како правоаголниче со должина 6, а потоа од него се отсекува должина 2 (видете како се означува отсекувањето во првиот чекор од задача 3 или вториот чекор од задача 4). Должината која останува се означува со прашалник и таа е бараната количина на јаболката кои останале т.е. 6 - 2 = 4.
Следната задача исто така се решава во еден чекор, но не е ниту со слепување, ниту отсекување, туку со споредување на количини.
Задача 2. (за 1 одделение)
Во одделението на Марко има 13 момчиња и 18 девојчиња. Колку повеќе девојчиња има во одделението од момчиња?
Во одделението на Марко има 13 момчиња и 18 девојчиња. Колку повеќе девојчиња има во одделението од момчиња?
Момчињата ги претставуваме со син правоаголник со должина 13, а под него поставуваме малку подолг црвен правоаголник со должина 18 кој ги претставува девојчињата. Ги означуваме нивните должини. Двата правоаголника се порамнети од лево, а должината за која црвениот правоаголник е подолг од синиот ја означуваме со прашалник, како на цртежот. Под цртежот го запишуваме и го пресметуваме бројното равенство со кое се пресметува вредноста на прашалникот.
Заклучуваме дека во одделението има за 5 повеќе девојчиња од момчиња.
2. Собирање и одземање (ниво 2)
Второоделенците веќе треба да може да решаваат и задачи во два чекора. На оваа возраст се изучува собирање и одземање до 100, па поединечното цртање на единките во количините е непрактично, така да методот на отсечки препорачливо е да се воведе на оваа возраст за да сликовито се објасни формирањето на бројните равенства, во отсуство на сликовитиот приказ на цртање на единките во количините.
Задача 3. (за 2 одделение)
На една роденденска забава, на почеткот дошле 35 деца. Во текот на првиот час си заминале 13 деца, а во текот на вториот час дошле уште 9 деца. Колку деца имало на забавата на крајот од вториот час?
На една роденденска забава, на почеткот дошле 35 деца. Во текот на првиот час си заминале 13 деца, а во текот на вториот час дошле уште 9 деца. Колку деца имало на забавата на крајот од вториот час?
Прво ќе го пресметаме бројот на деца на крајот од првиот час, а потоа на крајот од вториот час. Затоа, цртаме црвен правоаголник со должина 35 кој ги претставува децата кои дошле на почетокот на роденденската забава. Ја означуваме должината. Од тој правоаголник отсекуваме од десно количина која одговара на 13-те деца кои си заминале од забавата во текот на првиот час и ја означуваме отсечената должина. Со прашалник ја означуваме должината која останала и која одговара на бројот на деца на роденденската забава на крајот од првиот час. Го составуваме и го пресметуваме соодветниот броен израз кој одговара на вредноста на прашалникот.
Значи, на крајот од првиот час имало 22 деца на роденденската забава. Сега, цртаме правоаголник со должина 22 кој одговара на бројот на деца на почетокот од вториот час и ја означуваме должината. До него долепуваме син правоаголник со должина 9 кој одговара на децата кои дошле на забавата во текот на вториот час. Вкупната должина на двата правоаголника ја означуваме со прашалник и таа одговара на бројот на деца на крајот од вториот час. Под цртежот го запишуваме и го пресметуваме бројниот израз кој одговара на вредноста на прашалникот.
Заклучуваме дека на крајот од вториот час имало 31 дете на роденденската забава.
Двата чекора може да се запишат и само со еден броен израз каде во загради се означува делот кој одговара на првиот чекор, па треба прв да се пресмета, а потоа со решавање на тој броен израз доаѓаме до истиот резултат т.е.
Двата чекора може да се запишат и само со еден броен израз каде во загради се означува делот кој одговара на првиот чекор, па треба прв да се пресмета, а потоа со решавање на тој броен израз доаѓаме до истиот резултат т.е.
(35 - 13) + 9 = 22 + 9 = 31.
Да разгледаме уште една задача која се решава во два чекора.
Задача 4. (за 2 одделение)
Христо купил острилка за 45 денари, а потоа и молив кој коштал 32 денари помалку од острилката. Колку кусур му вратиле, ако за купување на моливот дал 50 денари?
Христо купил острилка за 45 денари, а потоа и молив кој коштал 32 денари помалку од острилката. Колку кусур му вратиле, ако за купување на моливот дал 50 денари?
Се бара кусурот од 50 денари дадени за купување на моливот, па затоа прво треба да се најде цената на моливот. Значи, првиот чекор е наоѓањето на цената на моливот, а вториот чекор е пресметувањето на кусурот. Цената на моливот е сврзана со цената на острилката, па прво цртаме син правоаголник со должина 45 кој одговара на цената на острилката и ја означуваме должината. Под него, порамнет од лево, цртаме црвен пократок правоаголник кој ја означува цената на моливот (пократок е затоа што текстот на задачата вели дека моливот кошта помалку од острилката), неговата цена не ја знаеме, па неговата должина ја означуваме со прашалник. Знаеме дека моливот кошта 32 денари помалку од острилката, што значи дека 32 одговара на должината за која синиот правоаголник е подолг од црвениот. Ја означуваме и таа должина на цртежот. Вредноста на прашалникот, според цртежот, ја пресметуваме како разлика меѓу 45 и 32, и соодветното равенство го запишуваме под цртежот.
Добивме дека, цената на моливот е 13 денари. За да го пресметаме кусурот од 50 денари, цртаме правоаголник со должина 50, ја означуваме неговата должина, па од него отсекуваме од лево должина 13 која одговара на цената на моливот и ја означуваме должината. Должината која останува одговара на кусурот и неа ја означуваме со прашалник. Под цртежот го запишуваме соодветното равенство за пресметување на кусурот.
Заклучуваме дека вредноста на кусурот е 37 денари.
И во оваа задача двата чекора може да ги запишеме само со едно бројно равенство во кое во загради е делот кој одговара на првиот чекор и треба прв да се пресмета т.е.
И во оваа задача двата чекора може да ги запишеме само со едно бројно равенство во кое во загради е делот кој одговара на првиот чекор и треба прв да се пресмета т.е.
50 - (45 - 32) = 50 - 13 = 37.
3. Собирање и одземање (ниво 3), множење и делење (ниво 1), комбинирано со споредување на количини
Третооделенците треба да ги решаваат претходните типови задачи, но и да може да решаваат задачи со повеќе од две количини, во повеќе од два чекора, но може да почнат и со задачи со множење и делење, па и во комбинација со споредување на количини.
Задача 5. (за 3 одделение)
За една претстава во училиштето организирана за добротворни цели биле продавани билети на ученици, наставници и родители. На наставниците биле продадени 52 билети, на учениците биле продадени 426 билети повеќе отколку на наставниците, а на родителите биле продадени 224 билети помалку отколку на учениците. Колку вкупно билети биле продадени на учениците, наставниците и родителите заедно?
За една претстава во училиштето организирана за добротворни цели биле продавани билети на ученици, наставници и родители. На наставниците биле продадени 52 билети, на учениците биле продадени 426 билети повеќе отколку на наставниците, а на родителите биле продадени 224 билети помалку отколку на учениците. Колку вкупно билети биле продадени на учениците, наставниците и родителите заедно?
Прво треба да најдеме колку билети биле продадени на учениците. За таа цел бројот на билети продадени на наставниците ги претставуваме со црвен правоаголник со должина 52, ја означуваме должината, а бројот на билети продадени на учениците ги претставуваме со син подолг правоаголник порамнет од лево со црвениот. Должината која покажува за колку синиот правоаголник е подолг од црвениот, според задачата е еднаква на 426, ја означуваме на соодветното место, а должината на синиот правоаголник е должината која треба да ја одредиме, и неа ја означуваме со прашалник. Под цртежот го запишуваме соодветното равенство со кое се одредува должината на синиот правоаголник.
Значи, на учениците биле продадени 478 билети. Потоа, вториот чекор е одредување на бројот на билети продадени на родителите. Затоа, цртаме син правоаголник со должина 478 кој одговара на бројот на билети продадени на учениците (вредност која ја пресметавме во првиот чекор), ја означуваме должината, а под него, порамнет од лево, цртаме помал зелен правоаголник кој го означува бројот на билети продадени на родителите и чија должина не ја знаеме, па ја означуваме со прашалник. Тоа што ни е познато е должината за колку зелениот правоаголник е помал од синиот, таа должина е дадена и е еднаква на 224, и неа ја нанесуваме на соодветното место на цртежот. Под цртежот го запишуваме соодветното равенство со кое се пресметува должината на зелениот правоаголник.
Значи, на родителите им биле продадени 254 билети. Последниот трет чекор е пресметување на вкупниот број продадени билети. Затоа, цртаме слепени правоаголници, црвен со должина 52 кој одговара на бројот на билети продадени на наставниците, потоа зелен правоаголник со должина 254 кој одговара на бројот на билети продадени на родителите и син правоаголник со должина 478 кој одговара на бројот на билети продадени на учениците. Ги означуваме должините, а вкупната должина на овие три правоаголника ја означуваме со прашалник и под цртежот ја пресметуваме како збир на сите три должини.
Одговорот е дека на учениците, наставниците и родителите им биде продадени вкупно 793 билети.
Незадолжително, но препорачливо за вежба, трите претходни чекори може да се запишат во еден броен израз во кој првиот чекор е ставен во заградите кои први се извршуваат (), а вториот чекор е ставен во второстепените загради []. Со пресметување на тој броен израз се добива истиот резултат т.е.
Незадолжително, но препорачливо за вежба, трите претходни чекори може да се запишат во еден броен израз во кој првиот чекор е ставен во заградите кои први се извршуваат (), а вториот чекор е ставен во второстепените загради []. Со пресметување на тој броен израз се добива истиот резултат т.е.
52 + [(52 + 426) - 224] + (52 + 426)
= 52 + [478 - 224] + 478 = 52 + 254 + 478 = 793. |
Да ја разгледаме следната комбинирана задача со множење, во два чекора.
Задача 6. (за 3 одделение)
Наставничката имала 500 листови хартија. Таа на секој ученик во одделнието му дала по 5 листови хартија. Колку листови хартија ѝ останале на наставничката, ако во одделението имало 34 ученици?
Наставничката имала 500 листови хартија. Таа на секој ученик во одделнието му дала по 5 листови хартија. Колку листови хартија ѝ останале на наставничката, ако во одделението имало 34 ученици?
Прво пресметуваме колку вкупно листови хартија им дала наставничката на сите 34 ученика, а потоа колку ѝ останале. Секој од 34-те ученици добил по 5 листа хартија, па вкупната количина листови хартија која наставничката ги дала може да ја прикажеме или со 34 слепени правоаголници секој со должина 5 (можеби најисправно, но непрактично), или со 5 слепени правоаголници секој со должина 34, кој исто така е коректен начин на прикажување, затоа што може да се сфати дека секој правоаголник одговара на количината на листови ако секој ученик добие по еден лист, па бидејќи секој добил по 5 листа, имаме 5 такви правоаголници. Ние го одбравме вториот начин, како попрактичен, при што, за да означиме дека секој од малите правоаголници има еднаква должина, ставивме x во секој од нив, а ја означначивме должината 34 само на еден од тие 5 правоаголници. Вкупната нивна должина е таа која е непозната, па ја означуваме до прашалник. Под цртежот го запишуваме соодветниот производ со кој ја одредуваме вкупната должина.
Значи, наставничката поделила вкупно 170 листови хартија. Во вториот чекор пресметуваме колку листови хартија ѝ останале. Па, цртаме правоаголник со должина 500 кој одговара на бројот на листови хартија кои ги имала на почетокот. Од тој правоаголник отсекуваме од лево должина од 170 која одговара на листовите хартија кои ги поделила на учениците. Должината која останува ја означуваме со прашалник и ја пресметуваме, според цртежот, како разлика меѓу 500 и 170 запишувајќи го под цртежот соодветното равенство.
Заклучуваме дека на наставничката ѝ останале 330 листови хартија.
И во овој случај може да составиме еден броен израз кој одговара на целата задача и со кој се добива истиот резултат т.е.
И во овој случај може да составиме еден броен израз кој одговара на целата задача и со кој се добива истиот резултат т.е.
500 - (5 · 34) = 500 - 170 = 330.
За крај, погледнете ја следната комбинирана задача со споредување на количини.
Задача 7. (за 3 одделение)
Коста и Бранко тргнале да пазаруваат со еднакви суми на пари. Откако Коста потрошил 250 денари, а Бранко 310 денари, на Коста му останале два пати повеќе денари од Бранко. По колку денари имал секој од нив на почетокот?
Коста и Бранко тргнале да пазаруваат со еднакви суми на пари. Откако Коста потрошил 250 денари, а Бранко 310 денари, на Коста му останале два пати повеќе денари од Бранко. По колку денари имал секој од нив на почетокот?
Парите кои ги имале на почетокот Коста и Бранко ги претставуваме со два правоаголника (зелен и син) со еднакви должини поставени еден под друг, лево и десно порамнети. Коста потрошил 250 денари, па од зелениот правоаголник отсекуваме должина која одговара на потрошените 250 денари и ја означуваме, а Бранко потрошил 310 денари, па од синиот правоаголник отсекуваме поголема должина која одговара на потрошените 310 денари и ја означуваме. Делот од зелениот правоаголник кој останал по отсекувањето го делиме на два дела така да едниот дел да одговара на делот кој останал од синиот правоаголник. Секој од трите останати дела го означуваме со x (два кај Коста и еден кај Бранко), за да се прикаже ситуацијата од задачата дека на Коста (зелениот правоаголник) му останале два пати повеќе денари од Бранко (синиот правоаголник). Во првиот чекор од задачата ја одредуваме големината на едно од трите еднакви делчиња кои останале. Должината на едно такво делче ја означуваме со прашалник и ја одредуваме лесно (анализирајќи го цртежот) како разлика меѓу потрошените пари на Бранко и Коста, т.е. разлика меѓу 310 и 250. Под цртежот го запишуваме соодветното равенство за пресметување на должината на едно делче.
Значи, вредноста на едно делче е 60 денари. Во вториот чекор од задачата пресметуваме колу пари имале на почетокот Коста и Бранко. Бидејќи имале еднакви суми, доволно е да ја пресметаме сумата на едниот од нив. Тоа може да го сториме на два начина, првиот начин е анализирајќи ги парите на Коста (тој потрошил 250 денари и му останале две делчиња од по 60 денари), а вториот начин е анализирајќи ги парите на Бранко (тој потрошил 310 денари и му останало едно делче од 60 денари). На секој од начините му одговара соодветен цртеж и равенство.
Значи, на почетокот Коста и Бранко имале по 370 денари секој.
Или, доколку ги запишеме двата чекора со едно равенство, непознатата сума пари која Коста и Бранко ја имале на почетокот, според првиот начин се пресметува како
Или, доколку ги запишеме двата чекора со едно равенство, непознатата сума пари која Коста и Бранко ја имале на почетокот, според првиот начин се пресметува како
2 · (310 - 250) + 250 = 2 · 60 + 250 = 120 + 250 = 370,
а според вториот начин како
(310 - 250) + 310 = 60 + 310 = 370.
4. Задачи за самостојна работа
Откако ги прочитавте овие седум задачи и видовте како тие се решаваат, нема да претставува никаков проблем и сами да ја решите на овој начин, со метод на отсечки, почетната задача за Марија и сестра ѝ Ана. Покрај тоа, ви предлагаме да ги решите самостојно и следните задачи:
1. (1 одд.) Откако Стефан му дал на Андреј 4 моливи, му останале 8 моливи. Колку моливи имал Стефан на почетокот?
2. (2 одд.) Микаела претпладнето прочитала 26 страници од лектирата, а попладнето 12 страници помалку. Колку страници прочитала попладнето? Колку вкупно страници од лектирата прочитала тој ден?
3. (3 одд.) Тетка Бети треба да направи колачиња за да ги подава. За дозата која ја прави ѝ требаат 865 грама шеќер. Таа има три пакувања шеќер од по 225 грама секое. Дали има доволно шеќер да ги направи колачињата? Ако нема доволно, колку грама шеќер ѝ недостасуваат?
4. (3 одд.) Горан има 2 пати повеќе џамлии од Дарко, а Мартин има 3 пати повеќе џамлии од Дарко. Горан има 350 џамлии. Колку џамлии има Мартин?
Текст кој следи:
МЕТОД НА ОТСЕЧКИ - ПОСЛОЖЕНИ ЗАДАЧИ (1) (Математички вештини)
1. (1 одд.) Откако Стефан му дал на Андреј 4 моливи, му останале 8 моливи. Колку моливи имал Стефан на почетокот?
2. (2 одд.) Микаела претпладнето прочитала 26 страници од лектирата, а попладнето 12 страници помалку. Колку страници прочитала попладнето? Колку вкупно страници од лектирата прочитала тој ден?
3. (3 одд.) Тетка Бети треба да направи колачиња за да ги подава. За дозата која ја прави ѝ требаат 865 грама шеќер. Таа има три пакувања шеќер од по 225 грама секое. Дали има доволно шеќер да ги направи колачињата? Ако нема доволно, колку грама шеќер ѝ недостасуваат?
4. (3 одд.) Горан има 2 пати повеќе џамлии од Дарко, а Мартин има 3 пати повеќе џамлии од Дарко. Горан има 350 џамлии. Колку џамлии има Мартин?
Текст кој следи:
МЕТОД НА ОТСЕЧКИ - ПОСЛОЖЕНИ ЗАДАЧИ (1) (Математички вештини)
Автор: Ирена Стојковска
Сличен блог пост:
МАКЕДОНСКАТА АЗБУКА И МАТЕМАТИКАТА - ДЕФИНИРАЊЕ НА МАТЕМАТИЧКИ ПОИМИ (Математички вештини)
Математика +
Блог страница на Математика + наменета за децата, родителите и наставниците.
Категории
Copyright © 2015 Математика +
|