ШАБЛОНИ И НИЗИ ОД БРОЕВИ
|
|
Во табелата прво се внесуваат познатите членови на низата (броевите во првата колона од 1 до 21), потоа се пресметуваат разликите меѓу соседните членови (се пополнуваат првите пет реда во втората колона). Се воочува дека секоја дотогашна разлика е еднаква на 4, и се прави предвидување дека и следните три разлики ќе бидат еднакви на 4, па предвидените разлики се внесуваат во втората колона (болдираните броеви во втората колона). Потоа, се пресметуваат следните три члена во низата, како претходниот член зголемен за 4 (болдираните броеви во првата колона). Слична табела може да се направи и за опаднувачката низа.
Покрај тоа што броевите во низите може да се разликуваат за константа т.е. секој број да е добиен од претходниот со зголемување или намалување секој пат за иста константа, може и секој број да е добиен од претходниот со множење или делење со иста константа. Исто така, низите од броеви може да следат и двојни или повеќекратни правила. Да го објасниме двојното правило на следната низа:
1, 12, 3, 10, 5, 8, 7, 6, 9, ...
Доколку за оваа низа ја формираме табелата со разлики меѓу соседните членови ќе добиеме една ваква низа од броеви (низата броеви во втората колона):
11, -9, 7, -5, 3, -1, -1, 3, ...
Оваа низа од разлики ни покажува дека вториот член е добиен од првиот со зголемување за 11, потоа третиот член е добиен од вториот со намалување за 9 (затоа разликата е -9) итн. Со набљудување на низата од разлики меѓу соседните членови, би можеле да забележиме дека броевите без својот знак формираат низа од непарни броеви која прво опаѓа почнувајќи од 11, па се до 1, а потоа почнува да расте, почнувајќи од вториот број 1 (имено, низата од броеви без знак е 11, 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, ...). Знаците пак во низата од разлики, се менуваат наизменично до првиот број -1, па потоа наизменичното менување почнува од вториот број -1. Според овој заклучок правиме предвидување дека следните четири разлики би биле -5, 7, -9 и 11 (без знак тоа се следните четири непарни броеви после 1 и 3, а знаците наизменично се менуваат според тоа како претходно заклучивме). Значи, следните четири броја во почетната низа би биле 9 - 5 = 4, 4 + 7 = 11, 11 - 9 = 2 и 2 + 11 = 13. Да забележиме дека расудувањето не мора да е еднозначно, односно постојат и други начини да дојдеме до правилото на низата. Да ја разгледаме повторно истата низа од која ќе ги издвоиме членовите кои се наоѓаат на непарните места и оние кои се наоѓаат на парните места:
1, 12, 3, 10, 5, 8, 7, 6, 9, ... формираме две поднизи:
|
1, 3, 5, 7, 9, ...
12, 10, 8, 6, ... |
Сега, новоформираните поднизи се полесни за проучување и формирање на правило. Имено, лесно се воочува дека првата подниза (црвената) е растечка низа од непарни броеви, односно низа која почнува со бројот 1 и секој нареден број се зголемува за 2, па предвидуваме дека двата следни нејзини члена се 11 и 13. Втората подниза (сината) е опаднувачка низа од парни броеви која почнува со бројот 12 и секој нареден број се намалува за 2, па така предвидуваме дека нејзини следни членови се 4 и 2. Доколку ги ставиме добиените предвидувања во почетната низа, ќе добиеме дека следните четири броеви се 4, 11, 2 и 13, односно го добивме истото предвидување од претходно. Некогаш пак може да се случи да се добијат различни предвидувања (вакви примери немаме тука обработено). Имено, се додека правилото точно го опишува формирањето на дадените броеви во низата, тоа е добро правило и може да се користи за правење на предвидувања.
До сега разгледувавме низи во кои воочувавме дека вредноста на секој член зависи од вредноста на претходниот член, или низи кои пратат некое двојно или повеќекратно правило кое дозволува од дадената низа да се формираат поднизи со полесно воочливи правила. Доколку овие зависности се обидеме да ги воопштиме, може да дојдеме до заклучок дека може да има и низи кај кои секој член зависи од вредноста на претходните два или повеќе члена. Една таква позната низа е низата Фибоначиеви броеви во која секој член е збир од претходните два члена:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Неколку следни нејзини ченови се: 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55 итн. За потеклото на оваа низа дознајте повеќе од текстот Како се родила низата Фибоначиеви броеви.
Понекогаш низите од броеви може да делуваат доста збунувачки. Да ја погледнеме следната низа од броеви:
1, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 2, ...
Ако се обидете броевите да ги гледате како симболи, како фигури, без нивното квантитативно значење, без количините кои им ги придружуваме, ќе забележите дека во оваа низа се јавува повторувачката целина 1, 2, 3, 3. Па според тоа, предвидувањето за следните неколку членови на оваа низа би било 3, 3, 1, 2, 3, 3, итн. Впрочем станува збор за повторувачки шаблон АБВВ. Исто така, броевите во низите од броеви може да имаат и комбинирано значење - истовремено квантитативно и симболично (видете ја задачата 5 во следниот дел со задачи за самостојна работа).
Од работните листови на Математика + :
Работен лист - Низи од броеви (прво одделение - ниво 1)
Работен лист - „Чудни“ низи (второ одделение - ниво 2)
Од работните листови на Математика + :
Работен лист - Низи од броеви (прво одделение - ниво 1)
Работен лист - „Чудни“ низи (второ одделение - ниво 2)
4. Задачи за самостојна работа
За крај обидете се да ги решите и овие задачи, да го откриете правилото и според него да го продолжите шаблонот, односно низата. Одговорите на задачите ќе ги најдете подолу.
За крај обидете се да ги решите и овие задачи, да го откриете правилото и според него да го продолжите шаблонот, односно низата. Одговорите на задачите ќе ги најдете подолу.
1. Продолжи го шаблонот за уште два члена.
2. Продолжи го шаблонот за уште еден член.
3. Откриј го правилото и продолжи ја низата за уште три члена.
56, 49, 42, 35, 28, ...
4. Откриј го правилото и продолжи ја низата за уште три члена.
7, 5, 12, 8, 17, 11, 22, 14, 27, ...
5*. Откриј го правилото и продолжи ја низата за уште три члена.
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...
Одговори на задачите
1. Повторувачката целина во овој шаблон е „срце, смајли, смалји, смајли“, односно за овој шаблон важи правилото АБББ. Па, се продолжува (од десно) со „срце, смајли“.
2. Секој елемент има една риба. Првата риба има 1 меурче, втората 3, третата 5, четвртата 7. Значи, бројот на меурчиња се зголемува за 2 во секој нареден чекор и при тоа прво се лево померени, па десно и сè така наизменично. Така, шаблонот се продолжува со риба и 9 меурчиња, распоредени како на сликата.
3. Правилото е: секој нареден член е за 7 помал од претходниот. Па, следните три чена се: 21, 14 и 7.
4. Дадената низа може да ја разделиме на две поднизи. Првата подниза составена од членовите на непарните места 7, 12, 17, 22, 27, ... го следи правилото да секој член е за 5 поголем од претходниот, па следни нејзини членови се 32, 37, 42, 47 итн. Втората подниза составена од членовите на парните места 5, 8, 11, 14, ... го следи правилото да секој нејзин член е за 3 поголем од претходниот, па следни нејзини членови се 17, 20, 23, 26 итн. Значи, дадената низа следи двојно правило, и бараните три члена со кои треба да се продолжи дадената низа се 17, 32 и 20.
5*. Одговорот ќе го најдете во Загатки и хумор (октомври 2016).
Извори;
[1] Using repeating patterns to explore functional thinking
[2] Exploring the Power of Growing Patterns
[3] Стратегии за предвидувања во наставата по математика
4. Дадената низа може да ја разделиме на две поднизи. Првата подниза составена од членовите на непарните места 7, 12, 17, 22, 27, ... го следи правилото да секој член е за 5 поголем од претходниот, па следни нејзини членови се 32, 37, 42, 47 итн. Втората подниза составена од членовите на парните места 5, 8, 11, 14, ... го следи правилото да секој нејзин член е за 3 поголем од претходниот, па следни нејзини членови се 17, 20, 23, 26 итн. Значи, дадената низа следи двојно правило, и бараните три члена со кои треба да се продолжи дадената низа се 17, 32 и 20.
5*. Одговорот ќе го најдете во Загатки и хумор (октомври 2016).
Извори;
[1] Using repeating patterns to explore functional thinking
[2] Exploring the Power of Growing Patterns
[3] Стратегии за предвидувања во наставата по математика
Автори: Гордана Николовска и Ирена Стојковска
Сличен блог пост:
15 КРАТКИ ЛОГИЧКИ ЗАГАТКИ (Загатки и хумор)
3 ИГРИ СО СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ (Математички вештини)
Математика +
Блог страница на Математика + наменета за децата, родителите и наставниците.
Категории
Copyright © 2015 Математика +
|